1. В базе храните как Вам удобно. Оправданность зависит от запросов. Если есть выборки по неделям и т.д. То в date, если нет, то можно просто int (unix)
2. Преобразовать для виджета и перед внесение в базу можно в моделе, можно через Yii::$app->formater, можно подключить компонент
demos.krajee.com/datecontrol
3. DatePicker поддерживает настройку типа даты.
Итого для начала определитесь как будете хранить в базе, потом настройте тип даты в виджете, потом при необходимости допишите в моделе beforeValidate, afterFind и т.д.