Не понимаю, как можно попасть на сервер что-то введя в браузер. С другой стороны не понимаю, как можно попасть на сайт, но не попасть на какой-то сервер :) Но это лирика.
Во-первых: для обновления DNS требуется время, но если у Вас в hosts-файле прописан явно ip домена, то браузер на этом компьютере и не полезет в DNS.
Во-вторых: домен должен быть настроен и подключен к исходникам сайта на новом сервере, как написали уже здесь.
Но всё это странно, ибо Вас перекидывает на предыдущий хостинг, а этого не может быть, если Вы обращаетесь через браузер к домену, ip-адрес которого явно прописан в hosts-файле.
Я думаю, что всё таки чего-то Вы недоговариваете. Давайте больше информации.