Задача скрывать кнопку по клику на нее и показывать ее же по клику на другой элемент страницы или просто по любому месту страницы. Скрывать по клику вопросов нет, а вот вернуть ее по клику в любой области, задачка...
$(document).ready(function(){
$(".button").click(function(){
$(this).hide();
});
});