Какой длины массив чисел можно «упаковать» по 3 элемента 25 комбинациями?

Question

[nnn Xion]

Даны натуральные числа, все они различны, при том часть из них делятся на 2, но не делятся на 3, а остальные делятся на 3, но не делятся на 2. Можно 25 способами выбрать три числа так, чтобы
среди них было как минимум одно четное число и хотя бы одно число, делящееся на 3. Сколько
всего было дано чисел?

Answer 1

[Wataru]

Пусть делящихся на 2 - x, а делящехся на 3 - y.

Тогда количество способов "выбрать три числа так, чтобы
среди них было как минимум одно четное число и хотя бы одно число, делящееся на 3" - x(x-1)y/2+x*y*(y-1)/2. Или мы берем 2 четных числа и одно, делящееся на 3. или наоборот.

Теперь надо подобрать такие x и у, чтобы вот эта формула сверху дала 25. Ответом будет x+y.

Можно или перебрать мелкие значения x и y и посмотреть, что 2 и 5 подойдут, или вывести это логически. Формулу можно факторизовать до x*y*(x+y-2)/2. Приравняем к 25 и домножим на 2: x*y*(x+y-2) = 5*5*2. Справа произведение трех простых чисел. Слева три неизвестных целых множителя. Значит надо лишь перебрать способы распихать эти три простых числа по трем множителям. x и у не могут быть 1 вместе, ибо 1*1*0 != 50. Если x=1, а y!=1, То надо там тоже видно, что решения для y нет. x+y-2 тоже не может быть 1, ведь кто-то из x и y будет точно хотя бы 5. Ну и остается тольковариант x=5, y=2, (x+y-2) = 5.

Итого, ответ - 7.

Answer 2

[Rsa97]

(n * m * (n - 1))/2 + (n * m * (m - 1))/2 = 25
n * m * (n + m - 2) = 50
n = 2, m = 5 или n = 5, m = 2
n + m = 7